隐马尔可夫模型三个问题的求解(一)
上一篇《隐马尔可夫模型介绍》中讲解了马尔可夫假设和隐马尔可夫模型 HMM，并提到了 HMM 中的三个基本问题，但没有展开讨论其求解。本篇就此做出解答。
本文主要参考《HMM 学习最佳范例》。
先回顾一下，上节我们就硬币的例子提出了三个问题：
- 给定上述模型，观察到的结果（硬币的正反面）为O={H，T，H}的概率是多少？
- 若给定上述的观察结果，那么最可能的状态序列（硬币序号）是什么？
- A、B、π未知的情况下，如何根据 O 得到它们？
问题一是个估算问题，P（O|λ），可用向前算法和向后算法解决；
问题二是根据观察序列反向找出最可能的状态序列，是个解码问题，P（O,q|λ），q 是某状态，最常用的是 Viterbi算法；
问题三实际上是个参数估计或求解的问题，或者说是个学习问题，通过训练一步步优化参数，找到使得P（O|λ）最大的那个参数，最常用的是 Baum-Welch算法。
###例子
这里，我们提出一个更加恰当的例子：
有一个宅男，不爱出门，也不愿看看窗户外面的世界。但他有个特殊的习惯，通过观察海藻来推测外面的天气情况。天气一共有3种情况 S：（晴天、多云、雨天）；海藻一共有4种情况V：（干、稍干、潮湿、湿润）。海藻的情况是宅男直接观察到的，而天气的情况并没有直接观察到，而是隐藏状态，是他推测出来的。其关系如图所示：
另外，我们给出其他三个条件：
天气的状态转移矩阵A：
天气的初始概率向量π：
天气状态和海藻观察情况的混淆矩阵 B：
现在，这个 HMM 已经构建好了，如上一节所说，是一个五元组λ=（S，V，A，B，π）。
我们使用一个隐马尔科夫模型（HMM）对这个例子建模。这个模型包含两组状态集合和三组概率集合：
- 隐藏状态：一个系统的（真实）状态，可以由一个马尔科夫过程进行描述（例如，天气）。
- 观察状态：在这个过程中‘可视’的状态（例如，海藻的湿度）。
- pi向量：包含了（隐）模型在时间t=1时一个特殊的隐藏状态的概率（初始概率）。
- 状态转移矩阵：包含了一个隐藏状态到另一个隐藏状态的概率
- 混淆矩阵：包含了给定隐马尔科夫模型的某一个特殊的隐藏状态，观察到的某个观察状态的概率。
###评估问题：前向算法
给定λ，要计算某个观察序列 O的概率，最不费脑子的办法就是穷举法。
如图，若求序列（dry,damp,soggy）的概率，只要把每种可能的状态序列都算一下概率，最后相加即可。一共有3**3=27种。
总的概率是：Pr(dry,damp,soggy | HMM) = Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny,sunny) + Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny ,cloudy) + Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny ,rainy) + . . . . Pr(dry,damp,soggy | rainy,rainy ,rainy)
其中每项的求解很简单，利用初始状态向量π、状态转移矩阵 A 和混淆矩阵 B，通过相乘就能得到。
可以看到，这种做法的代价是比较昂贵的，省了脑力就会相应的耗费体力，上帝是公平的。
下面提出一种颇费脑细胞，但代价比较小的算法：前向算法。
首先，定义局部概率这个概念：它是到达上图网格中间某个状态的概率，它是所有到达这个状态的可能路径的概率求和的结果。
例如，对于 t=2时Cloudy的局部概率：
有三个路径，分别计算每条路径的概率，再求和即可。相信聪明的你已经想到，我们正是利用递推的方式来求解最后结果：
首先计算 t=1的情况，然后就算 t=i 的情况（利用 t=i-1），最后得出最末时刻的概率。
其中，j 表示三个天气状态中的某一种；α1(j)表示 t=1时，天气状态为 j 时，得到观察为 k1的概率；等式的右边，表示初始状态下某天气的概率乘以该天气下得到 k1观察的概率。
这个式子中加入了状态转移矩阵的元素，就是 aij，用来递推计算，总的形式和上式一致。
最后所求概率，是一个加和，由于递推结束，不需要状态转移矩阵了。
这里有一个实际的计算过程可供参考。
为什么叫「前向算法」呢？从上面可以看出，这个算法的本质，是根据前t时的情况计算t+1时的情况，是一个逐渐向前推进的过程。
时间有限，今天先写这些，预告：
解码问题：Viterbi 算法
学习问题：Baum-Welch 算法